پروژه راديكال زير مدول ها، خواص زیرمدول های اول و خواص رادیكالها

فهرست مطالب

چکیده

مقدمه

فصل اول:

هدف، پیشینه تحقیق و روش کار

فصل دوم:

تعاریف و قضایای مقدماتی

فصل سوم:

خواص اساسی از زیر مدول های اول

فصل چهارم:

خواص M رادیکالها و قضایای مربوطه بهR مدول های متناهیا تولید شده

فصل پنجم:

زیر مدول های تولید شده توسط پوش یک زیر مدول

فصل ششم:

رادیکال زیر مدول ها

فصل هفتم:

مدول های بسته

منابع فارسی

منابع انگلیسی

چکیده انگلیسی

واژه نامه

======================

رادیکالهای زیر مدول ها

چکیده:

در این پایان نامه همه حلقه ها یکدار و جابجائی و همه مدول ها یکانی هستند این پایان نامه شامل یک مقدمه و هفت فصل است. فصل اول شامل هدف، پیشینه تحقیق و روش کار می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم شامل خواص اساسی زیر مدول های اول است. فصل چهارم شامل خواص M- رادیکالها است هدف عمده فصل پنجم برهان قضیه زیر می باشد.

قضیه 1: فرض کنیم R یک حلقه باشد. آن گاه R در فرمول رادیکال صدق می کند در صورتی که یکی از شرایط زیر برقرار باشد.

الف) برای هر -R مدول آزاد F,F در فرمول رادیکال صدق کند.

ب) برای هر مدول A، rad(0)=<E(0)>

ج) R تصویر همومرفیسم S است که S در فرمول رادیکال صدق می کند.

د) برای هر R- مدولA faithful، A در فرمول رادیکال صدق کند.

در فصل ششم R یک دامنه ایده آل اصلی است و A مدول آزاد Rⁿ در نظر گرفته شده است. و هدف عمده فصل ششم و هفتم برهان قضیه زیر می باشد.

قضیه 2 : فرض کنیم R یک دامنه ایده آل اصلی و P ،A=Rⁿ زیر مدولی از A باشد. آن گاه عبارات زیر هم ارزند.

الف: P جمعوند مستقیم A است.

ب: P بسته است.

ج: اگر P≠A آن گاه P اول است و dim P<n .

مقدمه:

در سال 1991، R.L.McCasland و M.E.Moore مقاله ای تحت عنوان رادیکال های زیر مدول ها نوشتند این پایان نامه شرحی است بر مقاله فوق.

فصل اول این پایان نامه شامل هدف و پیشینه تحقیق می باشد. فصل دوم شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است. فصل سوم خواص زیر مدول های اول می باشد. فصل چهارم شامل خواص M- رادیکال ها می باشد.

فصل پنجم با تعریف مفاهیم پوش یک زیر مدول یا (E(B و M-radB شروع شده است. و ارتباط بین زیر مدول های تولید شده توسط آنها با رادیکال زیر مدول ها بررسی شده و همچنین شرایط هم ارزی که یک حلقه می تواند در فرمول رادیکال صدق کند بررسی شده است.

در فصل ششم حلقه R یک حلقه PID و مدول A نیز مدول آزاد Rn در نظر گرفته شده است و نشان می دهیم اگر B زیر مدول A باشد آن گاه اگر و تنها اگر dim B=dim A و در فصل هفتم با تعریف مدول های بسته نشان داده می شود که اگر R دامنه ایده آل اصلی و P , A=Rⁿ زیر مدول A باشد آن گاه شرایط زیر هم ارزند

الف: P جمعوند مستقیم A است.

ب: P بسته است.

ج: اگر P≠A آن گاه P اول است و dim P<n .

خواص اساسی از زیر مدولهای اول

(1-3) تعریف: فرض کنیم R یک حلقه و M یک R- مدول باشد. زیر مدول حقیقی N از R- مدول M را اول یا (R- اول) گوییم هر گاه برای هر r از R و برای هر m از M که rm∈M داشته باشیم:

m∈N یا r∈N : M=P . به سادگی دیده می شود که (P = (N:M یک ایده آل اول است.

(2-3) تعریف: فرض کنیم M یک R- مدول و N زیر مدول M باشد. N را جمعوند مستقیم M گوییم هر گاه 'M=N⊕N برای بعضی زیر مدولهای 'N از M .

(3-3) تعریف: فرض کنیم A یک دامنه صحیح و M یک A- مدول باشد. یک عضو x∈M را عضو تابدار گوییم اگر Ann(x)≠0 یعنی x توسط عناصر غیرصفر A خنثی می شود. عضوهای تابدار M تشکیل زیر مدول از M می دهند. این زیر مدول که زیر مدول تابدار نام دارد با (T(M نشان داده می شود.

(4-3) تعریف: اگر T(M)=0 مدول M را مدول فارغ از تاب می نامیم.

(5-3) مثال: هر جمعوند مستقیم از یک مدول فارغ از تاب اول است. به ویژه هر زیر فضای حقیقی از یک فضای برداری اول است.

برهان: فرض کنیم M مدولی فارغ از تاب و N یک جمعوند مستقیم آن باشد لذا داریم: (K زیر مدول دلخواه M)

M=N⊕K

...

زیر مدولهای تولید شده توسط پوش یک زیر مدول

تعریف (1-5): فرض کنیم M و N دو زیر مدول از R- مدول A باشد. در این صورت منظور از (M:N) مجموعه ای به صورت زیر است:

(M:N)={r∈R | rN⊆M}

لم(2-5) : فرض کنیم M و N دو زیر مدول از R- مدول A باشد. آنگاه (M:N) ایده آلی از حلقه R است.

برهان : اولا چون 0 ∈(M:N) می باشد لذا (M:N)≠Ø است.

پس (M:N) ایده آلی از حلقه R است.

در فصل 2 دیدیم که P≤A یک زیر مدول اول است در صورتی که P≠A و برای r∈R و a∈A-P از ra∈P نتیجه می گیریم که rA⊆P.

لم (3-5) : فرض کنیم A یک R- مدول باشد. اگر A=R باشد آنگاه هر زیر مدول اول A یک ایده آل اول حلقه R و هر ایده آل اول حلقه R یک زیر مدول اول A است.

اثبات: فرض کنیم P یک ایده آل اول حلقه R باشد. در این صورت چون A=R است پس A یک حلقه است و چون P یک ایده آل اول حلقه A است.

حال ادعا می کنیم P زیر مدول اول A است.

اولا P≠A زیرا P ایده آل اول حلقه A است.

ثانیا: P زیر مدول A است زیرا A روی خودش یک R- مدول است و ...